При каком значении параметра а прямая y=3x+a касается параболы y=4x-x^2 Найдите координаты точки касания.

Прямая является касательной к параболе только в том случае, когда она имеет одну общую точку с параболой. Ординаты у у обоих графиков будут одинаковые, поэтому приравняем правые части уравнений у = 3 х + а и у = 4 х - х².

3 х + а = 4 х - х²;

х² - 4 х + 3 х + а = 0;

х² - х + а = 0.

Так как у нас должна быть только одна общая точка, то это квадратное уравнение должно иметь только один корень. Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.

D = b² - 4ac;

D = (-1) ² - 4 * 1 * a = 1 - 4a;

1 - 4a = 0;

-4a = - 1;

a = - 1 : (-4);

a = 1/4.

Подставим значение а в уравнение х² - х + а = 0 и найдем абсциссу координаты точки касания.

х² - х + 1/4 = 0.

Т. к. D = 0, то х = - b / (2a).

x = 1/2.

Найдем у из любого уравнения у = 3 х + 1/4 или у = 4 х - х².

у = 3 * 1/2 + 1/4 = 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4 = 1 3/4.

Или у = 4 * 1/2 - (1/2) ² = 4/2 - 1/4 = 2 - 1/4 = 1 3/4.

Ответ. (1/2; 1 3/4).