Иван взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. За весь срок кредитования Иван выплатил банку в общей сложности 16875 рублей. Какую сумму он взял в кредит?

1. Пусть:

xi - сумма долга в конце i-го месяца, i = 0, 1, ..., 6 (x0 - сумма кредита, x6 = 0 - долг погашен); si - выплаты в конце i-го месяца, i = 1, 2, ..., 6; s = 16 875 руб. - общая сумма выплат за 6 месяцев.

Тогда:

xi = 1,1x[i - 1] - si, i = 1, ..., 6.

2. Сумма долга уменьшается равномерно:

xi - x[i - 1] = x0/6, отсюда: xi = (6 - i) x0/6 = (1 - i/6) x0; si = 1,1x[i - 1] - xi; si = 0,1x[i - 1] + x[i - 1] - xi = 0,1 * (7 - i) x0/6 + x0/6 = x0/6 * (1 + 0,1 * (7 - i)).

3. Общая сумма выплат:

Σ[i = 1; 6] (si) = s; Σ[i = 1; 6] (x0/6 * (1 + 0,1 * (7 - i))) = s; x0 + 0,1x0/6 * Σ[i = 1; 6] (7 - i) = s; x0 + 0,1x0/6 * (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = s; x0 + 0,1x0/6 * 21 = s; x0 + 0,7x0/2 = s; x0 + 0,35x0 = s; 1,35x0 = s; x0 = s/1,35; x0 = 16 875/1,35 = 12 500 (руб.).

Ответ: 12 500 руб.