Log7 (5-x) + log7 (-1-x) = 1

log₇ (5 - x) + log₇ (-1 - x) = 1.

Разберем ОДЗ (выражение под знаком логарифма должно быть больше 0):

5 - х > 0; - x > - 5; x < 5.

-1 - x > 0; - x > 1; x < - 1.

Общее решение ОДЗ: x < - 1.

Представим правую часть уравнения в виде логарифма с основанием 7:

log₇ (5 - x) + log₇ (-1 - x) = log₇7.

По правилу сложения логарифмов упростим левую часть:

log₇ ((5 - x) (-1 - x)) = log₇7.

Избавляемся от логарифмов:

(5 - x) (-1 - x) = 7.

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

-5 + х - 5 х + х² - 7 = 0.

х² - 4 х - 12 = 0.

По теореме Виетра корни равны - 2 и 6.

Корень х = 6 не подходит по ОДЗ.

Ответ: корень уравнения равен - 2.