Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x=4 - (y-1) в квадрате, х=у в квадрате-4 у+3

Упростим первую функцию, получим:

x = 4 - (y - 1) ²,

x = 4 - y² + 2 * y - 1,

x = - y² + 2 * y + 3.

Находим теперь точки пересечения графиков обеих функций, они же - пределы интегрирования, получим:

y² - 4 * y + 3 = - y² + 2 * y + 3,

2 * y² - 6 * y = 0,

2 * y * (y - 3) = 0, откуда находим у = 0 и у = 3.

Искомая площадь есть интеграл разности двух функций, т. е.:

s = интеграл (от 0 до 3) (-y² + 2 * y + 3 - y² + 4 * y - 3) dy,

s = интеграл (от 0 до 3) (-2 * y² + 6 * y) dy,

s = (-2/3) * y³ + 3 * y² (от 0 до 3),

s = - 18 + 27 = 9 ед².

Ответ: s = 9 ед².