Квадратное уравнение x^2+px+q=0 имеет два различных корня x1 и x2. Найдите p и q, если числа x1+1 и x2+1 являются корнями уравнения x^2-p^2x+pq=0

1. Применим теорему Виета к обоим уравнениям:

x^2 + px + q = 0; (1) x^2 - p^2x + pq = 0; (2) {x1 + x2 = - p; {x1 * x2 = q;

{ (x1 + 1) + (x2 + 1) = p^2;

{ (x1 + 1) * (x2 + 1) = pq; {x1 + x2 = - p;

{x1 * x2 = q;

{x1 + x2 + 2 = p^2;

{x1 * x2 + x1 + x2 + 1 = pq; {x1 + x2 = - p;

{x1 * x2 = q;

{-p + 2 = p^2;

{q - p + 1 = pq; {p^2 + p - 2 = 0;

{q - pq + 1 - p = 0; {p^2 + p - 2 = 0;

{q (1 - p) + (1 - p) = 0; {p^2 + p - 2 = 0;

{ (1 - p) (q + 1) = 0; {[p = - 2; [p = 1;

{[p = 1; [q = - 1; [{p = - 2; {q = - 1;

[{p = 1; {q ∈ R.

2. Уравнения (1) и (2) должны иметь два различных корня:

D1 = p^2 - 4q; D2 = p^4 - 4pq; {p^2 - 4q > 0;

{p^4 - 4pq > 0.

a) p = - 2; q = - 1;

{ (-2) ^2 - 4 * (-1) > 0;

{ (-2) ^4 - 4 * (-2) * (-1) > 0; {4 + 4 > 0;

{16 - 8 > 0; {8 > 0;

{8 > 0;

p = - 2; q = - 1, - подходит.

b) p = 1; q ∈ R;

{1^2 - 4q > 0;

{1^4 - 4 * 1 * q > 0; {1 - 4q > 0;

{1 - 4q > 0; {1 - 4q > 0;

{1 - 4q > 0; 1 - 4q > 0; 4q < 1; q < 1/4; q ∈ (-∞; 1/4).

Ответ:

a) p = - 2; q = - 1; b) p = 1; q ∈ (-∞; 1/4).