Квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет два различных корня х1 и х2. Найдите p и q, если числа х1+1 и х2+1 являются корнями уравнения x2-p2x+pq=0.

1. Условия существования двух корней для уравнений (двух различных для первого уравнения):

x^2 + px + q = 0; D1 = p^2 - 4q > 0; (1) x^2 - p^2x + pq = 0; D2 = p^4 - 4pq ≥ 0. (2)

2. Корни уравнений должны удовлетворять условиям:

{x1 + x2 = - p;

{x1 * x2 = q; { (x1 + 1) + (x2 + 1) = p^2;

{ (x1 + 1) * (x2 + 1) = pq; {x1 + x2 + 2 = p^2;

{x1 * x2 + x1 + x2 + 1 = pq; {-p + 2 = p^2;

{q - p + 1 = pq; {p^2 + p - 2 = 0;

{q (1 - p) + (1 - p) = 0; {p^2 + p - 2 = 0;

{ (1 - p) (q + 1) = 0; {[p = - 2; [p = 1;

{[p = 1; [q = - 1; [{p = - 2; {q = - 1;

[{p = 1; {q ∈ R.

3. Проверим условия (1) и (2):

1) p = - 2; q = - 1;

D1 = p^2 - 4q = 2^2 - 4 * (-1) = 4 + 4 = 8 > 0; D2 = p^4 - 4pq = 2^4 - 4 * (-2) * (-1) = 16 - 8 = 8 > 0.

2) p = 1;

D1 = p^2 - 4q = 1 - 4q; D2 = p^4 - 4pq = 1 - 4q. 1 - 4q > 0; 4q < 1; q < 1/4; q ∈ (-∞; 1/4).

Ответ:

1) p = - 2; q = - 1; 2) p = 1; q ∈ (-∞; 1/4).