Покажите, что уравнение 2x^2-2x (1+2y) + 4y^2+1=0 имеет действительное решение только при y=1/2, нацдите это решение.

1. Вычислим четверть дискриминанта квадратного уравнения:

2x^2 - 2x (1 + 2y) + 4y^2 + 1 = 0;

D/4 = (1 + 2y) ^2 - 2 (4y^2 + 1) = 4y^2 + 4y + 1 - 8y^2 - 2 = - 4y^2 + 4y - 1 = - (4y^2 - 4y + 1) = - (2y - 1) ^2.

D/4 = - (2y - 1) ^2. (1)

2. Из равенства (1) следует, что дискриминант всегда меньше или равен нулю, причем нулевое значение достигается при условии:

2y - 1 = 0; 2y = 1; y = 1/2.

3. При этом значении параметра получим единственный корень уравнения:

x = - b/2a; x = 2 (1 + 2y) / 4 = (1 + 2y) / 2 = (1 + 2 * 1/2) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1.

Ответ: 1.