Укажите корни уравнения 0,5sin2x*ctgx-cosx=sin^2x принадлежащие промежутку [0, П]

Решим тригонометрическое уравнение:

0,5 * sin (2 * x) * ctg (x) - cos (x) = sin² (x); раскроем синус двойного угла и котангенс;

½ * 2 * sin (x) * cos (x) * [cos (x) / sin (x) ] - cos (x) = sin² (x);

cos² (x) - cos (x) - sin² (x) = 0; представим синус через косинус;

cos² (x) - cos (x) - (1 - cos² (x)) = 0;

2 * cos² (x) - cos (x) - 1 = 0; сделаем замену переменной;

cos (x) = t;

2 * t² - t - 1 = 0; решим квадратное уравнение;

D = 9;

t₁ = 1;

t₂ = - ½;

cos (x) = 1; x = 2 * π * n, n € Z;

cos (x) = - ½; x = ± (2 * π/3) + 2 * π * n, n € Z;

Отрезок [0; π], найдем принадлежащие ему корни;

x = 2 * π * n, n € Z;

n = 0; x = 0 - принадлежит отрезку;

n = 1; x = 2 * π - не принадлежит отрезку;

x = - (2 * π/3) + 2 * π * n, n € Z;

ни один корень не принадлежит отрезку;

x = (2 * π/3) + 2 * π * n, n € Z;

n = 0; x = 2 * π/3; принадлежит отрезку;

Ответ: 0; 2 * π/3.