2cos2 (x-π) + 3sin (π+x) = 0

1. Воспользуемся формулами приведения:

2cos2 (x - π) + 3sin (π + x) = 0; 2cos (2x - 2π) - 3sinx = 0; 2cos2x - 3sinx = 0.

2. Косинус двойного угла:

2 (1 - 2sin^2x) - 3sinx = 0; 2 - 4sin^2x - 3sinx = 0; 4sin^2x + 3sinx - 2 = 0.

3. Решим относительно sinx:

D = 3^2 + 4 * 4 * 2 = 9 + 32 = 41; sinx = (-3 ± √41) / 8;

1) sinx = (-3 - √41) / 8 < (-3 - √36) / 8 = (-3 - 6) / 8 = - 9/8 < - 1, нет решений;

2) sinx = (-3 + √41) / 8;

[x = arcsin ((√41 - 3) / 8) + 2πk, k ∈ Z; [x = π - arcsin ((√41 - 3) / 8) + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: arcsin ((√41 - 3) / 8) + 2πk; π - arcsin ((√41 - 3) / 8) + 2πk, k ∈ Z.