Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра площадь его боковой поверхности будет наибольшей?

Обозначим через R и H, соответственно, радиус основания и высоту цилиндра. Ясно, что осевое сечение цилиндра имеет форму прямоугольника с основанием 2 * R и высотой H. Согласно условия задания, периметр этого прямоугольника равен 6 дм. Используя формулу вычисления периметра прямоугольника, имеем 2 * (2 * R + Н) = 6 дм, откуда 2 * R + Н = 3 дм. Как известно боковая поверхность S_бок цилиндра можно вычислить по формуле S_бок = 2 * π * R * Н. Последнее равенство п. 2 позволяет выразить Н через R. Имеем Н = 3 - 2 * R. Здесь и в дальнейшем, для краткости записи, опустим единицу измерения (дм). Подставим Н на своё место в формуле вычисления боковой поверхности. Имеем S_бок = 2 * π * R * (3 - 2 * R) = 6 * π * R - 4 * π * R². Рассмотрим запись S_бок (R) = 6 * π * R - 4 * π * R² как функцию от R и исследуем эту функцию на экстремум. Вычислим производную функции S_бок (R). Имеем (S_бок (R)) ꞌ = (6 * π * R - 4 * π * R²) ꞌ = 6 * π - 8 * π * R. Приравнивая производную к нулю 6 * π - 8 * π * R = 0, находим R = 3/4. Поскольку при R ∈ (0; 3/4) значение производной 6 * π - 8 * π * R > 0, а при R ∈ (3/4; 3/2) значение производной 6 * π - 8 * π * R < 0, то функция S_бок (R) принимает наибольшее значение при R = 3/4. Таким образом, при радиусе, равном 3/4 дм = 0,75 дм = 7,5 см, площадь боковой поверхности цилиндра будет наибольшей.

Ответ: При радиусе, равном 0,75 дм = 7,5 см, площадь боковой поверхности цилиндра будет наибольшей.