Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой сумма членов равна 9, а сумма квадратов равна 40,5

Определения: геометрической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждое следующее число a_n, начиная со второго, равно предыдущему a_n-1, умноженному на определенное число q, называемое знаменателем прогрессии. Если q < 1, то прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма S членов бесконечно убывающей прогрессии определяется формулой: S = a₁ / (1 - q).

Решение задачи:

Для определения прогрессии нужно определить ее первый член a1 и ее знаменатель q. Cоставим два уравнения:

Первое уравнение: a₁ / (1 - q) = 9 (сумма членов прогрессии равна 9).

Второе уравнение: a₁^2 / (1 - q^2) = 40,5 (сумма квадратов членов прогрессии равна 40,5).

Разделим второе уравнение на первое. Используем во втором уравнении формулу для разности квадратов. Получим: a₁ / (1 + q) = 4,5.

Снова разделим первое уравнение на полученное равенство. Получим: (1 + q) / (1 - q) = 2. Отсюда q = 1/3.

Из первого уравнения a₁ = 9 * (1 - q) = 9 * 2/3 = 6.

Ответ: геометрическая прогрессия имеет параметры: a₁ = 6, q = 1/3.