Путь, пройденный материальной точкой S = 3t² - 2t + 4. Найти мгновенную скорость точки в конце пятой секунды. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой у = х³ в точке С (-2; - 8). Составить уравнение касательной к параболе у = х² - 3 х - 1 в точке (3; 4).

1. Мгновенная скорость точки равна производной от функции расстояния:

S (t) = 3t^2 - 2t + 4; v (t) = S' (t) = 6t - 2; v (5) = 6 * 5 - 2 = 28 (м/с).

2. Производная функции:

y = x^3; y' = 3x^2.

Значения функции и производной в точке С (-2; - 8):

x0 = - 2; y0 = y (-2) = (-2) ^3 = - 8; k = y' (-2) = 3 * (-2) ^2 = 12.

Уравнение касательной:

y - y0 = k (x - x0); y + 8 = 12 (x + 2); y = 12x + 24 - 8 = 12x + 16.

3. Производная функции:

y = x^2 - 3x - 1; y' = 2x - 3.

Значения функции и производной в точке x = 3:

x0 = 3; y0 = y (3) = 3^2 - 3 * 3 - 1 = - 1; k = y' (3) = 2 * 3 - 3 = 3.

Уравнение касательной:

y - y0 = k (x - x0); y + 1 = 3 (x - 3); y = 12x + 24 - 8 = 12x + 16.