Найти решение системы уравнений: m^3-n^3=56 m^2n-mn^2=16

Рассмотрим систему уравнений m³ - n³ = 56, m² * n - m * n² = 16. Умножим обе части второго уравнения на (-3) и выполним алгебраическое сложение полученного уравнения с первым уравнением. Тогда, имеем: m³ - n³ - 3 * (m² * n - m * n²) = 56 - 3 * 16 или m³ - 3 * m² * n + 3 * m * n² - n³ = 8. Применяя к последнему уравнению формулу сокращенного умножения (a - b) ³ = a³ - 3 * a² * b + 3 * a * b² - b³ (куб разности), получим: (m - n) ³ = 8 или (m - n) ³ = 2³. Таким образом установили, что. Ко второму уравнению данной системы применим распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания). Тогда, m * n * (m - n) = 16 или, учитывая, что m - n = 2, получим: m * n * 2 = 16, откуда m * n = 8. Итак, получили два равенства m - n = 2 и m * n = 8. Подстановка выражения m = n + 2 во второе равенство порождает следующее квадратное уравнение n² + 2 * n - 8. Решим его. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: n₁ = (-2 - √ (36)) / (2 * 1) = (-2 - 6) / 2 = - 8/2 = - 4 и n₂ = (-2 + √ (36)) / (2 * 1) = (-2 + 6) / 2 = 4/2 = 2. При n = - 4 имеем: m = - 4 + 2 = - 2. Аналогично, при n = 2 имеем: m = 2 + 2 = 4. Таким образом, получили следующие два решения данной системы уравнений: m = - 2, n = - 4 и m = 4, n = 2.

Ответ: m = - 2, n = - 4 и m = 4, n = 2.