sin3a (1+ctga) + cos3a (1+tga) = sina+cosa Доказать тождество

В задании требуется доказать тождество sin³α * (1 + ctgα) + cos³α * (1 + tgα) = sinα + cosα, левую часть которого обозначим через Т. Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие углы α, для которых левая часть данного равенства имеет смысл. Воспользуемся формулами ctgα = cosα / sinα и tgα = sinα / cosα и раскроем скобки: Т = sin³α * (1 + ctgα) + cos³α * (1 + tgα) = sin³α * 1 + sin³α * (cosα / sinα) + cos³α * 1 + cos³α * (sinα / cosα) = sin³α + cos³α + sin²α * cosα + cos²α * sinα. К первым двум слагаемым применим формулу сокращенного умножения a³ + b³ = (a + b) * (a² - a * b + b²) (сумма разность кубов), а из последних двух выведем за скобки общий множитель sinα * cosα. Тогда, получим: Т = (sinα + cosα) * (sin²α - sinα * cosα + cos²α) + sinα * cosα * (sinα + cosα) = (sinα + cosα) * (sin²α - sinα * cosα + cos²α + sinα * cosα) = (sinα + cosα) * (sin²α + cos²α). Основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1 позволит окончательно упростить выражение Т = (sinα + cosα) * 1 = sinα + cosα. Что и требовалось доказать.