Лёгкая задача Центр 0 вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису ВЕ в отношении 2:1. считая от вершины В. Найдите АВ если А С = 7, ВС=8.

Рассмотрим треугольник АВС и ВЕ - биссектриса угла В, а О - центр вписанной окружности.

Заметим, что центр вписанной окружности является точкой пересечения всех трёх биссектрис треугольника.

Из этого замечания следует, что АО и СО лежат на биссектрисах углов А и С.

Рассмотрим треугольник АВЕ. АО - биссектриса угла ВАЕ. Следовательно, по свойству биссектрисы имеем:

АВ / АЕ = ВО / ЕО = 2/1, АВ = 2 * АЕ.

Рассмотрим треугольник СВЕ. СО - биссектриса угла ВСЕ.

Следовательно, имеем:

СЕ / ВС = ЕО / ВО = 1/2,

СЕ = ВС / 2 = 8/2 = 4.

Тогда,

АЕ = АС - СЕ = 7 - 4 = 3 и

АВ = 2 * АЕ = 2 * 3 = 6.

Ответ: АВ = 6.