На одной стороне треугольника взято 20 точек, на другой 30, на третьей 15. ни одна из точек не является вершиной треугольника. сколько существует треугольника с вершинами в этих точках?

Пусть на первой стороне треугольника будут отмечены 20 точек а1, а2 ... а20. На второй стороне треугольника отмечены 30 точек: в1, в2 ... в30. На третьей стороне отмечены 15 точек: с1, с2 ... с15.

Каждая из точек имеет возможность стать вершиной другого нового треугольника.

Делаем перечень треугольников с вершиной а1: а1 в1 с1, а1 в1 с2, а1 в1 с3, то есть пока сочетание а1 в1 не переберёт все точки с вершиной с, а их 15, то понятно, что будет 15 треугольников.

То есть для каждой точки участвуют все точки, и количество треугольников равно 20 * 30 * 15 = 9000.