найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а с индексом n), если а9+а7=70, а5-а5=15

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

а₉ + а₇ = 70, а₂ - а₅ = 15;

Найти: d, a₁ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n - 1), где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество её членов.

С помощью этой формулы представим второй, пятый, седьмой и девятый члены заданной прогрессии:

a₂ = a₁ + d (2 - 1) = a₁ + d;

a₅ = a₁ + d (5 - 1) = a₁ + 4d;

a₇ = a₁ + d (7 - 1) = a₁ + 6d;

a₉ = a₁ + d (9 - 1) = a₁ + 8d.

Т. о. имеем:

a₁ + 8d + a₁ + 6d = 70; и a₁ + d - (a₁ + 4d) = 15;

2a₁ + 14d = 70; a₁ + d - a₁ - 4d = 15;

2a₁ + 14d = 70 (*) - 3d = 15;

d = - 5.

Полученное значение разности d подставим в уравнение со знаком (*):

2a₁ + 14d = 70;

2a₁ + 14 * (-5) = 70;

2a₁ = 70 + 70;

2a₁ = 140;

a₁ = 70.

Ответ: a₁ = 70; d = - 5.