5 человек сидят за круглым столом. У первого есть 81 яблоко, у остальных - разное количество. Вначале первый дает каждому из остальных столько яблок, сколько у того уже есть. После этого остальные делают то же самое. Когда они закончили, яблок у всех стало поровну. Сколько яблок было у каждого вначале?

Question

Матвей Борисов

Математика

28 августа, 18:11

5 человек сидят за круглым столом. У первого есть 81 яблоко, у остальных - разное количество. Вначале первый дает каждому из остальных столько яблок, сколько у того уже есть. После этого остальные делают то же самое. Когда они закончили, яблок у всех стало поровну. Сколько яблок было у каждого вначале?

+1

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Егор Дементьев · Answer 1

Вначале у первого было 81, у второго A, у третьего B, у четвертого C, у пятого D яблок. Тогда после первого хода у них стало: 81 - A - B - C - D, 2A, 2B, 2C, 2D яблок, соответственно. В следующих ход у них стало: (81 - A - B - C - D) * 2, 2A - (81 - A - B - C - D) - 2B - 2C - 2D, 4B, 4C, 4D. или, что равносильно: 2 * (81 - A - B - C - D), 3A - 81 - B - C - D, 4B, 4C, 4D. Затем стало: 4 * (81 - A - B - C - D), 2 * (3A - 81 - B - C - D), 4B - 2 * (81 - A - B - C - D) - (3A - 81 - B - C - D) - 4C - 4D, 8C, 8D, что равносильно: 4 * (81 - A - B - C - D), 2 * (3A - 81 - B - C - D), 7B - 81 - A - C - D, 8C, 8D. В следующий ход стало: 8 * (81 - A - B - C - D), 4 * (3A - 81 - B - C - D), 2 * (7B - 81 - A - C - D), 8C - 4 * (81 - A - B - C - D) - 2 * (3A - 81 - B - C - D) - (7B - 81 - A - C - D) - 8D, 16D. Упростив, получим: 8 * (81 - A - B - C - D), 4 * (3A - 81 - B - C - D), 2 * (7B - 81 - A - C - D), 15C - 81 - A - B - D, 16D. На последнем ходу стало: 16 * (81 - A - B - C - D), 8 * (3A - 81 - B - C - D), 4 * (7B - 81 - A - C - D), 2 * (15C - 81 - A - B - D), 16D - 8 * (81 - A - B - C - D) - 4 * (3A - 81 - B - C - D) - 2 * (7B - 81 - A - C - D) - (15C - 81 - A - B - D). Причем у всех оказалось равное количество. Упростив, получим: 16 * (81 - A - B - C - D) = 8 * (3A - 81 - B - C - D) = 4 * (7B - 81 - A - C - D) = 2 * (15C - 81 - A - B - D) = 31D - 81 - A - B - C. Решая систему получившихся уравнений получим: 16*81 - 16A - 16B - 16C - 16D - 24A + 8*81 + 8B + 8C + 8D = 24*81 - 40A - 8B - 8C - 8D = 0, что равносильно 3*81 - 5A - B - C - D = 0. 28B - 4*81 - 4A - 4C - 4D - 24A + 8*81 + 8B + 8C + 8D = 36B + 4*81 - 28A + 4C + 4D = 0, что равносильно 9B + 81 - 7A + C + D = 0. 30C - 2*81 - 2A - 2B - 2D - 24A + 8*81 + 8B + 8C + 8D = 38C + 6*81 - 26A + 6B + 6D = 0, что равносильно 19 С + 3*81 - 13A + 3B + 3D = 0. 31D - 81 - A - B - C - 24A + 8*81 + 8B + 8C + 8D = 39D + 7*81 - 25A + 7B + 7C = 0. следовательно: 3*81 - 5A - B - C - D = 0. 3*81 - 5A - B + 9B + 81 - 7A = 0. = > 4*81 - 12A + 8B = 0. = > 2B = 3A - 81. 19 С + 3*81 - 13A + 3B + 3D + 9*81 - 15A - 3B - 3C - 3D = 0. = > 16 С + 12*81 - 28A = 0. = > 4 С = 7A - 3*81. 39D + 7*81 - 25A + 7B + 7C + 21*81 - 35A - 7B - 7C - 7D = 0. = > 32D + 28*81 - 60A = 0. = > 8D = 15A - 7*81. следовательно: 3*81 - 5A - (3A - 81) / 2 - (7A - 3*81) / 4 - (15A - 7*81) / 8 = 0. 24*81 - 40A - 12A + 4*81 - 14A + 6*81 - 15A + 7*81 = 0. 41 * 81 = 81 * A. A = 41. Отсюда: B = (3 * 41 - 81) / 2 = 21. C = (7 * 41 - 3 * 81) / 4 = 11. D = (15 * 41 - 7 * 81) / 8 = 6. Ответ: Вначале было 81, 41, 21, 11, 6 яблок.