Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x² - 2x+16 / (x-1) - 1

Рассмотрим функцию y = у (х) = (x² - 2 * x + 16) / (x - 1) - 1. Анализ формулы данной функции показывает, что функция определена и дифференцируема для всех х ∈ (-∞; + ∞), которые удовлетворяют неравенству х - 1 ≠ 0 или х ≠ 1. Вычислим первую производную данной функции: yꞋ = уꞋ (х) = ((x² - 2 * x + 16) / (x - 1) - 1) Ꞌ = ((x² - 2 * x + 16) Ꞌ * (х - 1) - (x² - 2 * x + 16) * (х - 1) Ꞌ) / (x - 1) ² = ((2 * x - 2 + 16) * (х - 1) - (x² - 2 * x + 16)) / (x - 1) ² = (x² - 2 * x - 14) / (x - 1) ². Приравнивая найденную производную к нулю, решим уравнение (x² - 2 * x - 14) / (x - 1) ² = 0, которое, как данная функция имеет смысл при х ≠ 1. Поскольку рассматриваются те точки х ∈ (-∞; + ∞), которые удовлетворяют неравенству х ≠ 1, то умножая последнее уравнение на (x - 1) ² ≠ 0, получим следующее квадратное уравнение: x² - 2 * x - 14 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-2) ² - 4 * 1 * (-14) = 4 + 56 = 60. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (2 - √ (60)) / (2 * 1) = 1 - √ (15) и x₂ = (2 + √ (60)) / (2 * 1) = 1 + √ (15). Рассмотрим множества М₁ = (-∞; 1 - √ (15)), М₂ = (1 - √ (15); 1), М₃ = (1; 1 + √ (15)) и М₄ = (1 + √ (15); + ∞). Вы берем из каждого множества по одной точке, например, - 4 ∈ М₁, 0 ∈ М₂, 2 ∈ М₃ и 6 ∈М₄. Вычислим: уꞋ (-4) = 0,4 >0, уꞋ (0) = - 14 < 0, уꞋ (2) = - 14 0. Итак, при переходе через точку х = 1 - √ (15) производная данной функции меняет знак с "+" на "-". Значит, в точке х = 1 - √ (15) данная функция принимает максимальное значение y_max = y (1 - √ (15)) = - 2√ (15) - 1. Аналогично, при переходе через точку х = 1 + √ (15) производная данной функции меняет знак с "-" на "+". Значит, в точке х = 1 - √ (15) данная функция принимает минимальное значение y_min = y (1 + √ (15)) = 2√ (15) - 1. Анализ полученных результатов, на первый взгляд, кажутся противоречивыми, ведь y_max = - 2√ (15) - 1 < 2√ (15) - 1 = y_min. Это объясняется тем, что данная функция терпит разрыв в точке х = - 1 и найденные экстремальные значения являются локальными: х_max = 2√ (15) - 1 ∈ (-∞; 1) и х_min ∈ (1; + ∞).

Ответ: y_max = - 2√ (15) - 1 и y_min = 2√ (15) - 1.