Решите тригонометрическое уравнение 10sin^2x - 11cos x - 2 = 0

Воспользуемся формулой sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), которую перепишем в виде sin²α = 1 - cos²α. Имеем 10 * (1 - cos²х) - 11 * cosx - 2 = 0 или, раскрывая скобки, 10 - 10 * cos²х - 11 * cosx - 2 = 0. Приведём это уравнение к виду: 10 * cos²х + 11 * cosx - 8 = 0. Введём новую переменную: у = cosx. Тогда получим: 10 * у² + 11 * у - 8 = 0. Это квадратное уравнение имеет дискриминант D = 11² - 4 * 10 * (-8) = 121 + 320 = 441. Поскольку D = 441 > 0, то последнее уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: у₁ = (-11 - √ (441)) / (2 * 10) = (-11 - 21) / 20 = - 32 / 20 = - 1,6 и у₂ = (-11 + √ (441)) / (2 * 10) = (-11 + 21) / 20 = 10 / 20 = 1/2. Рассмотри каждое решение квадратного уравнения по отдельности. Ясно, что у = - 1,6 является побочным корнем, так как число - 1,6 не принадлежит множеству значений функции у = cosx, то есть - 1,6 ∉ [-1; 1]. Если у = 1/2, то получим простейшее тригонометрическое уравнение cosx = 1/2, которое имеет следующие две серии решений: х = π/3 + 2 * π * k и х = - π/3 + 2 * π * n, где k и n - целые числа.

Ответ: х = π/3 + 2 * π * k и х = - π/3 + 2 * π * n, где k и n - целые числа.