Найдите точку минимума функции y=x^2+169/x

1. Область определения функции:

y = x^2 + 169/x; x ≠ 0; x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; ∞).

2. Критические точки:

y' = 2x - 169/x^2 = (2x^3 - 169) / x^2; y' = 0; 2x^3 - 169 = 0; 2x^3 = 169; x^3 = 169/2; x = (169/2) ^ (1/3), единственная критическая точка функции.

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (-∞; 0), y' < 0, функция убывает; b) x ∈ (0; (169/2) ^ (1/3)), y' <0, функция убывает; c) x ∈ ((169/2) ^ (1/3); ∞), y'> 0, функция возрастает.

Точка x = (169/2) ^ (1/3) является точкой минимума, т. к. функция от убывания переходит к возрастанию.

Ответ: (169/2) ^ (1/3).