Решите дробные рациональные уравнения: 1) x+8/x-10=x-2/x+4 2) 150/x=25-x 3) x^2-10/x-2=3x/2-x 4) 5x^2-34x+24/x-8=5x-2 5) (2x-21) (5x+8) / 10x^2+21x+8=0 6) 18/x^2-9+5/x+3=x/x-3 7) 2/x^2-4+1/2x-4+7/2x^2+4x=0

1) (x + 8) / (x - 10) = (x - 2) / (x + 4).

По правилу пропорции: (x + 8) (x + 4) = (x - 10) (x - 2).

Раскрываем скобки: х^2 + 8 х + 4 х + 32 = х^2 - 10 х - 2 х + 20;

х^2 + 12 х + 32 = х^2 - 12 х + 20.

Переносим значения с х в левую часть, а числа - в правую:

х^2 + 12 х - х^2 + 12 х = 20 - 32;

24 х = - 12; х = - 12/24 = - 1/2.

2) 150/x = 25 - x.

По правилу пропорции: х (25 - x) = 150.

Раскрываем скобки: 25 х - х^2 - 150 = 0; х^2 - 25 х + 150 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 25; c = 150;

D = b^2 - 4ac; D = (-25) ^2 - 4 * 1 * 150 = 625 - 600 = 25 (√D = 5);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (25 + 5) / 2 = 30/2 = 15.

х₂ = (25 - 5) / 2 = 20/5 = 10.

3) (x^2 - 10) / (x - 2) = 3x / (2 - x); отсюда (x^2 - 10) / (x - 2) = - 3x / (х - 2).

Умножаем уравнение на (х - 2) (ОДЗ: х не равно 2).

x^2 - 10 = - 3x; x^2 + 3 х - 10 = 0.

D = 9 + 40 = 49 (√D = 7);

х₁ = (-3 + 7) / 2 = 2 (не подходит);

х₂ = (-3 - 7) / 2 = - 5.

4) (5x^2 - 34x + 24) / (x - 8) = 5x - 2.

По правилу пропорции:

5x^2 - 34x + 24 = (5x - 2) (x - 8).

Раскрываем скобки: 5x^2 - 34x + 24 = 5 х^2 - 2 х - 40 х + 16;

5x^2 - 34x + 24 = 5 х^2 - 42 х + 16.

Переносим значения с х в левую часть, а числа - в правую:

5x^2 - 34x - 5 х^2 + 42 х = 16 - 24;

8 х = - 8; х = - 1.

5) (2x - 21) (5x + 8) / (10x^2 + 21x + 8) = 0.

(2x - 21) (5x + 8) = 0 (1) или 10x^2 + 21x + 8 не равно 0 (2).

1) (2x - 21) (5x + 8) = 0;

2x - 21 = 0; 2 х = 21; х = 21/2 = 10,5.

5x + 8 = 0; 5 х = - 8; х = - 8/5 = - 1,6 (не подходит).

2) 10x^2 + 21x + 8 = 0.

D = 441 - 320 = 121 (√D = 11);

х₁ = (-21 - 11) / 20 = - 32/20 = - 1,6; х не равно - 1,6;

х₂ = (-21 + 11) / 20 = - 10/20 = - 0,5; х не равно - 0,5.

6) 18 / (x^2 - 9) + 5 / (x + 3) = x / (x - 3).

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

18 / (x - 3) (х + 3) + 5 / (x + 3) - x / (x - 3) = 0;

(18 + 5 (х - 3) - х (х + 3)) / (x - 3) (х + 3) = 0;

раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

(18 + 5 х - 15 - х^2 - 3x) / (x - 3) (х + 3) = 0;

(-х^2 + 2x + 3) / (x - 3) (х + 3) = 0.

Отсюда - х^2 + 2x + 3 = 0 (1) или (x - 3) (х + 3) не равно 0 (2).

(1) - х^2 + 2x + 3 = 0; х^2 - 2x - 3 = 0;

D = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

х₁ = (2 - 4) / 2 = - 1;

х₂ = (2 + 4) / 2 = 3 (не подходит).

(2) (x - 3) (х + 3) = 0;

х - 3 = 0; х не равно 3;

х + 3 = 0; х не равно - 3.

7) 2 / (x^2 - 4) + 1 / (2x - 4) + 7 / (2x^2 + 4x) = 0.

Преобразуем знаменатели:

2 / (x - 2) (х + 2) + 1 / (2 (x - 2)) + 7 / (2x (х + 2)) = 0.

Приведем дроби к общему знаменателю:

(4 х + х (х + 2) + 7 (х - 2)) / 2 х (x - 2) (х + 2) = 0;

Раскрываем скобки:

(4 х + х^2 + 2 х + 7 х - 14) / 2 х (x - 2) (х + 2) = 0;

(х^2 + 13 х - 14) / 2 х (x - 2) (х + 2) = 0.

Отсюда 2 х (x - 2) (х + 2) не равно 0 (1) и х^2 + 13 х - 14 = 0 (2).

2 х (x - 2) (х + 2) = 0;

2 х = 0; х = 0;

х - 2 = 0; х = 2;

х + 2 = 0; х = - 2. х не равно 0, 2 и - 2.

х^2 + 13 х - 14 = 0.

D = 169 + 56 = 225 (√D = 15);

х₁ = (-13 - 15) / 2 = (-28) / 2 = - 14;

х₂ = (-13 + 15) / 2 = 1.