Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

Поскольку искомое число должно давать в остатке 3 при делении на 4, 5 и 6, то это число на 3 единицы больше числа, являющегося общим кратным чисел 4, 5, 6, которое, в свою очередь, будет кратным наименьшего общего кратного 4, 5 и 6.

Найдем НОК (4,5,6).

4 = 2 * 2;

5 простое число;

6 = 2 * 3;

НОК (4,5,6) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60.

Запишем трехзначные числа, большие 600 и кратные 60:

660, 720, 780, 840, 900, 960.

Цифры искомого числа должны идти в порядке убывания, поэтому это число либо 843, либо 963.

Ответ: 843.

Наименьшее общее кратное чисел

Если натуральное число n при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке 3, то число n - 3 является общим кратным для этих чисел, а наименьшее такое число - их наименьшее общее кратное (НОК). Для нахождения НОК нужно делители 4, 5 и 6 разложить на простые множители:

4 = 2^2; 5 = 5; 6 = 2 * 3;

НОК (4, 5, 6) = 2^2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60.

Следовательно, число n можно представить в виде:

n (k) = 60 * k + 3, где k - целое неотрицательное число: k = 0; 1; 2 и т. д.

Вычисление первых 17 чисел

Первое из чисел, удовлетворяющих условию задачи - однозначное число, второе - двузначное, а следующие 15 чисел - трехзначные:

n (0) = 60 * 0 + 3 = 3; n (1) = 60 * 1 + 3 = 63; n (2) = 60 * 2 + 3 = 123; n (3) = 60 * 3 + 3 = 183; n (4) = 60 * 4 + 3 = 243; n (5) = 60 * 5 + 3 = 303; n (6) = 60 * 6 + 3 = 363; n (7) = 60 * 7 + 3 = 423; n (8) = 60 * 8 + 3 = 483; n (9) = 60 * 9 + 3 = 543; n (10) = 60 * 10 + 3 = 603; n (11) = 60 * 11 + 3 = 663; n (12) = 60 * 12 + 3 = 723; n (13) = 60 * 13 + 3 = 783; n (14) = 60 * 14 + 3 = 843; n (15) = 60 * 15 + 3 = 903; n (16) = 60 * 16 + 3 = 963.

Среди 15 трехзначных чисел, только у пятерых чисел цифры расположены в порядке убывания слева направо:

543, 603, 843, 903, 963,

четыре из которых больше 600:

603, 843, 903, 963.

Ответ: например, число 963.