В арифметической прогрессии, содержащей 9 членов, первый член равен 1, а сумма всех членов равна 369. Геометрическая прогрессия также имеет девять членов, причем первый и последний члены совпадают с соответствующими членами данной арифметической прогрессии. Найдите пятый член геометрической прогрессии.

Допустим, что последовательность чисел а₁, а₂, ..., а₉ является той арифметической прогрессией, о которой идёт речь в данном задании, то есть а₁ = 1 и S₉ = 369. Используя формулу S_n = (2 * a₁ + d * (n - 1)) * n / 2, где d - шаг прогрессии, имеем: (2 * 1 + d * (9 - 1)) * 9 / 2 = 369 или 1 + 4 * d = 369 : 9, откуда d = (41 - 1) : 4 = 10. Тогда, формула a_n = a₁ + d * (n - 1) позволит определить a₉ = a₁ + d * (9 - 1) = 1 + 10 * 8 = 81. Аналогично, пусть последовательность чисел b₁, b₂, ..., b₉ представляет собой девятью членами геометрической прогрессии, где b₁ = а₁ = 1 и b₉ = а₉ = 81. Как известно, используя формулу b_n = b₁ * qⁿ ^{- 1}, можно вычислить общий член b_n геометрической прогрессии, где q - знаменатель прогрессии. Имеем: b₉ = b₁ * q^{9 - 1} или q⁸ = 81. Следовательно, искомый пятый член геометрической прогрессии равен b₅ = b₁ * q^{5 - 1} = q⁴ = (q⁸) ^½ = √ (81) = 9.

Ответ: 9.