Log2 (x+1) + log2 (11-x) <5

1. Область определения:

{x + 1 > 0;

{11 - x > 0; {x > - 1;

{x < 11; x ∈ (-1; 11).

2. Сумма логарифмов с одинаковым основанием:

log2 (x + 1) + log2 (11 - x) < 5; log2 ((x + 1) (11 - x)) < 5; (x + 1) (11 - x) < 2^5; 11x - x^2 + 11 - x < 32; - x^2 + 10x + 11 - 32 <0; x^2 - 10x + 21> 0.

3. Найдем корни квадратного трехчлена:

D/4 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4; x = 5 ± √4 = 5 ± 2; x1 = 5 - 2 = 3; x2 = 5 + 2 = 7.

4. Решение неравенства:

{x ∈ (-∞; 3) ∪ (7; ∞);

{x ∈ (-1; 11); x ∈ (-1; 3) ∪ (7; 11).

Ответ: (-1; 3) ∪ (7; 11).