Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, сумма квадратов ее членов равна 45. сколько будет равна сумма кубов этой прогрессии?

Сумма членов прогрессии:

S = b₁ / (1 - q), (b₁ - первый член, q - знаменатель).

Для S₁ = 3:

b₁ / (1 - q) = 3;

b = 3 (1 - q) (1);

Квадраты прогрессии образуют новую прогрессию:

b₁^2, b₁^2*q^2, ...

q₁ = (b₁^2 * q^2) / (b₁^2) = q^2;

Сумма членов новой прогрессии:

S₂ = b₁^2 / (1 - q₁) = b₁^2 / (1 - q^2);

b₁^2 / (1 - q^2) = 45 (2);

Подстановка (1) в (2):

9 (1 - q) ^2 / (1 - q^2) = 45;

9 (1 - q) ^2 = 45 (1 - q^2);

(1 - q) ^2 = 5 (1 - q) (1 + q);

1 - q = 5 (1 + q);

1 - q = 5 + 5q;

q = - 2/3;

b₁ = 3 (1 - (-2/3)) = 3 + 6/3 = 5;

Кубы членов прогрессии:

b₁^3, b₁^3q^3 ...

Знаменатель новой прогрессии:

q₂ = (b₁^3q^3) / b₁^3 = q^3.

Сумма членов новой прогрессии:

S₃ = b^3 / (1 - q₂) = b^3 / (1 - q^3) = 5^3 / (1 - (-2/3) ^3) =

= 5^3 / (1 + 8/27) = 125 / (35/27) = 25 * 27/7 = 96,43.

Ответ: 96,43.