Докажите, что для любого натурального n верно равенство: 1) (n+1) !-n! + (n-1) ! = (n^2+1) (n-1) ! 2) (n+1) ! / (n-1) ! = n^2+n

В задании требуется доказать два равенства, где используется понятие факториал. Факториал числа это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). 1) Согласно определения факториала, (n + 1) ! = (n - 1) ! * n * (n + 1) и n! = (n - 1) ! * n. Подставляя правые части этих равенств в левую часть доказываемого равенства, а затем используя распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, получим: (n + 1) ! - n! + (n - 1) ! = (n - 1) ! * n * (n + 1) - (n - 1) ! * n + (n - 1) ! = (n² + n - n + 1) * (n - 1) ! = (n² + 1) * (n - 1) !. Равенство доказано. 2) Здесь также выполняя подобные вычисления как в п. 2, получим (n + 1) ! / (n - 1) ! = ((n - 1) ! * n * (n + 1)) / (n - 1) ! = (n² + n) * (n - 1) ! / (n - 1) ! = n² + n. Что и требовалось доказать. Примечание. В п. 3 сокращение на (n - 1) ! выполнимо для любого натурального n, даже при n = 1, так как по общепринятому соглашению, 0! = 1 (заметим, что последнее равенство не подчиняется определению факториала).