На каждом из двух паралельных ппямвх отметили по 100 точек. каждые 2 точки, лежащие на разных прямых, соеденили отрезками. каких пар отрезков больше: не имеющих общих точек или имеющих общую внутреннюю точку?

1. Пусть на параллельных прямых a и b отмечены по n + 1 точек соответственно:

A0, A1, ..., An; B0, B1, ..., Bn.

Для каждого отрезка AiBj, количество отрезков:

a) не имеющих общих точек:

N0 (i, j) = ij + (n - i) (n - j) = n^2 - n (i + j) + 2ij.

b) имеющих общую внутреннюю точку:

N1 (i, j) = i (n - j) + j (n - i) = n (i + j) - 2ij.

2. Разница этих выражений:

ΔN (i, j) = N0 (i, j) - N1 (i, j) = n^2 - n (i + j) + 2ij - n (i + j) + 2ij; ΔN (i, j) = n^2 - 2n (i + j) + 4ij; ΔN (i, j) = (n - (i + j)) ^2 - (i + j) ^2 + 4ij; ΔN (i, j) = (n - (i + j)) ^2 - (i - j) ^2; ΔN (i, j) = (n - i - j - i + j) (n - i - j + i - j); ΔN (i, j) = (n - 2i) (n - 2j).

3. Найдем сумму по всем значениям i и j:

ΔN = Σ[i, j = 0; n] (ΔN (i, j)); ΔN = Σ[i = 0; n]Σ[j = 0; n] ((n - 2i) (n - 2j)); ΔN = Σ[i = 0; n] ((n - 2i) * Σ[j = 0; n] (n - 2j)); ΔN = Σ[i = 0; n] ((n - 2i) * (n (n + 1) - 2 * n (n + 1) / 2); ΔN = Σ[i = 0; n] ((n - 2i) * 0); ΔN = 0.

Ответ. Одинаковое количество пар отрезков.