1) Найдите координаты середины отрезка AB a) (2; 5), B (4; 1) b) A (-2; 3), B (6; -1) 2) Найдите координаты точки B, если точка М является координатой середины отрезка АВ. a) (2; 1), M (3; 2) b) A (3; - 1), M (-1; 1) 3) Найдите координаты середин сторон треугольника с вершинами A (0; 0), B (0; 4) и C (-6; 0) 4) a) Точки А (2; 3) и C (4; 1) являются противоположными вершинами параллелограмма АВСD. Найдите координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма. b) Точки А (1; 3), B (2; 6) и C (5; 7) вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D

Задача 1:

a) AB = (4 - 2; 1 - 5) = (2; - 4);

b) AB = (6 + 2; - 1 - 3) = (2; - 4).

Задача 2:

a) (2 + x) / 2 = 3; x = 4;

(1 + y) / 2 = 2; y = 3.

Ответ: B (4; 3).

b) (3 + x) / 2 = - 1; x = - 5;

( - 1 + y) / 2 = 1; y = 3.

Ответ: B ( - 5; 3).

Задача 3:

Середина отрезка AB:

x_сер = (0 + 0) / 2 = 0;

y_сер = (0 + 4) / 2 = 2.

Ответ: (0; 2).

Середина отрезка AC:

x_сер = (0 - 6) / 2 = - 3;

y_сер = (0 + 0) / 2 = 0.

Ответ: ( - 3; 0).

Середина отрезка BC:

x_сер = (0 - 6) / 2 = - 3;

y_сер = (4 + 0) / 2 = 2.

Ответ: ( - 3; 2).

Задача 4:

a) Точкой пересечения диагоналей будет середина отрезка AC:

x_сер = (2 + 4) / 2 = 3;

y_сер = (3 + 1) / 2 = 2.

Ответ: ( - 3; 2).

b) Воспользуемся равенством сторон AB и CD. Найдём длину этой стороны:

|AB| = sqrt ((2 - 1) ² + (6 - 3) ²) = sqrt (10).

То же самое, только для сторон BC и AD:

|BC| = sqrt ((5 - 2) ² + (7 - 6) ²) = sqrt (10).

Наш параллелограмм оказался ромбом, так как соседние стороны равны. Тогда приравняем стороны AD и CD:

sqrt ((x - 1) ² + (y - 3) ²) = sqrt ((x - 5) ² + (y - 7) ²);

(x - 1) ² + (y - 3) ² = (x - 5) ² + (y - 7) ²;

(x - 1) ² - (x - 5) ² = (y - 7) ² - (y - 3) ²;

(x - 1 - x + 5) * (x - 1 + x - 5) = (y - 7 - y + 3) * (y - 7 + y - 3);

4 * (2 * x - 6) = - 4 * (2 * y - 10);

2 * (x - 3) = - 2 * (y - 5);

x - 3 = 5 - y;

x = 8 - y.

Подставим выражение вместо x и найдём y:

(8 - y - 1) ² + (y - 3) ² = 10;

49 - 14 * y + y² + y² - 6 * y + 9 - 10 = 0.

2 * y² - 20 * y - 48 = 0;

y² - 10 * y - 24 = 0;

y1 = 12; x₁ = 8 - 12 = - 4;

y₂ = - 2; x₂ = 8 + 2 = 10.

Ответ: ( - 4; 12) и (10; - 2).