Дано три вершины параллелограмма АВСД: В (-1; 7), С (7; 3), Д (5; -1) 1) Найдите координаты точки К пересечения диагоналей и координаты четвертой вершины параллелограмма. 2) Определите, является ли данный параллелограмм прямоугольником, ромбом или квадратом. 3) Напишите уравнение окружности с центром в точке К, которая проходит через точку Д. 4) Напишите уравнение прямой АК.

1) В параллелограмме АВСД две диагонали, АС и ВД, они пересекаются в середине. Вычислим координаты середины отрезка ВД: В (-1; 7), Д (5; - 1), К (х₁; у₁).

х₁ = (-1 + 5) / 2 = 4/2 = 2.

у₁ = (7 + (-1)) / 2 = 6/2 = 3.

Точка К имеет координаты (2; 3). Так как точка К является также серединой отрезка АС, вычислим координаты точки А: С (7; 3), К (2; 3), А (х₂; у₂).

2 = (7 + х₂) / 2; 7 + х₂ = 4; х₂ = 4 - 7; х₂ = - 3.

3 = (3 + у₂) / 2; 3 + у₂ = 6; у₂ = 6 - 3; 3 + у₂ = 3.

Координаты вершины А (-3; 3).

2) Сравним длину соседних сторон параллелограмма:

ВС² = (7 - (-1)) ² + ((3 - 7) ² = 64 + 16 = 80; ВС = √80 = 4√5.

СД² = (7 - 5) ² + (3 - (-1)) ² = 4 + 16 = 20; СД = √20 = 2√5.

Так как соседние стороны не равны, это не ромб и не квадрат.

Для того, чтобы определить, АВСД - прямоугольник или параллелограмм, найдем угол между двумя соседними сторонами по теореме косинусов.

ВД² = ВС² + СД² - 2 * ВС * СД * cosC.

ВД² = (-1 - 5) ² + ((7 - (-1)) ² = 36 + 64 = 100.

100 = 80 + 20 - √80 * √20 * cosC.

√1600 * cosC = 100 - 100.

40 * cosC = 0;

cosC = 0.

угол С равен 90°.

Значит, АВСД - прямоугольник.

3) Уравнение окружности имеет вид (х - х₀) ² + (y - y₀) ² = R², где R - радиус окружности, х₀ и у₀ - координаты центра окружности.

Координаты цетра К (2; 3), радиус равен длине отрезка КД.

КД² = (5 - 2) ² + (-1 - 3) ² = 9 + 16 = 25.

Значит, уравнение окружности будет (х - 2) ² + (y - 3) ² = 25.

4) Уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Так как прямая пройдет через точки А (-3; 3) и К (2; 3), подставим значения х и у в уравнение и найдем k и b.

3 = - 3k + b;

3 = 2k + b.

Выразим b из первого уравнения и подставим во второе.

b = 3 + 3k; 3 = 2k + 3 + 3k; 5k = 3 - 3; 5k = 0; k = 0.

b = 3 + 3 * 0 = 3.

Уравнение прямой имеет вид у = 0 * х + 3, то есть у = 3.