23. Найти площадь треугольника АВС, если его вершины А (1; -1) B (-2; 1) C (0; 5)

Вершины треугольника АВС заданы своими координатами, значит можно найти длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между точками, заданными своими координатами:

АВ = √ ( - 2 - 1) ² + (1 - ( - 1)) ² = √ ( - 3) ² + 2² = √ (9 + 4) = √ 13

ВС = √ (0 - ( - 2)) ² + (5 - 1) ² = √ 2² + 4² = √ (4 + 16) = √ 20

СА = √ (1 - 0) ² + ( - 1 - 5) ² = √ 1² + ( - 6) ² = √ (1 + 36) = √ 37

S _АВС = √ p * (p - AB) * (p - ВС) * (p - СА), где p = (АВ + ВС + СА) / 2 - полупериметр треугольника.

p = (√13 + √20 + √ 37) / 2, тогда

S _АВС = √ (√13 + √20 + √ 37) / 2 * (√20 + √ 37 - √13) / 2 * (√20 + √ 13 - √37) / 2 * (√13 + √ 37 - √20) / 2 = (используя формулы сокращенного умножения, вычислим выражение стоящее под знаком корня) = √128 = √ 2 * 64 = 8*√2.