Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f (x) = 4ax+|x^2-10x+21|больше, чем - 42.

1. Корни квадратного трехчлена:

f (x) = 4ax + |x^2 - 10x + 21|;

x1 = 3; x2 = 7.

2. При x ∈ [3; 7] получим:

f (x) = 4ax - x^2 + 10x - 21; f (x) = - x^2 + 2 (2a + 5) x - 21.

Ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает на концах отрезка:

f (x) = 4ax;

a) f (3) = 12a > - 42;

a > - 42/12 = - 7/2 = - 3,5;

b) f (7) = 28a > - 42;

a > - 42/28 = - 3/2 = - 1,5;

{a ∈ (-3,5; ∞);

{a ∈ (-1,5; ∞); a ∈ (-1,5; ∞).

3. При x ∈ (-∞; 3) ∪ (7; ∞) получим:

f (x) = 4ax + x^2 - 10x + 21; f (x) = x^2 + 2 (2a - 5) x + 21; f (x) = (x + (2a - 5)) ^2 + 21 - (2a - 5) ^2.

Абсцисса вершины параболы:

x0 = - (2a - 5).

a) x0 принадлежит промежутку [3; 7] при условии:

3 ≤ x0 ≤ 7; 3 ≤ - (2a - 5) ≤ 7; - 3 ≥ 2a - 5 ≥ - 7; - 7 ≤ 2a - 5 ≤ - 3; - 2 ≤ 2a ≤ 2; - 1 ≤ a ≤ 1; a ∈ [-1; 1].

При этом условии вершина параболы находится внутри отрезка, и функция наименьшее значение принимает на границах. Поскольку [-1; 1] ∈ [-1,5; ∞], то a ∈ [-1; 1] удовлетворяет условию задачи.

b) a ∈ (-1,5; - 1) ∪ (1; ∞).

Ордината вершины параболы - наименьшее значение функции:

ymin = 21 - (2a - 5) ^2 > - 42; (2a - 5) ^2 < 63; 2a - 5 ∈ (-√63; √63); 2a ∈ (5 - √63; 5 + √63); a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2) ≈ (-1,47; 6,47). {a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2);

{a ∈ (-1,5; - 1) ∪ (1; ∞); a ∈ (2,5 - √63/2; - 1) ∪ (1; 2,5 + √63/2).

4. Объединение множеств:

[a ∈ [-1; 1];

[a ∈ (2,5 - √63/2; - 1) ∪ (1; 2,5 + √63/2); a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2).

Ответ: (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2).