На первом курсе 70 студентов. Из них 30 человек занимаются физкультурой в секции гимнастики, 20 - в секции лыжного спорта, остальные - легкоатлеты. Вероятность получить зачет "автоматом" у гимнастов - 0,8; у лыжников - 0,85; у легкоатлетов - 0,75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный с курса студент получит зачет по физкультуре автоматически.

1. Гипотезы:

A1 - студент из секции гимнастики; A2 - студент из секции лыжного спорта; A3 - легкоатлет. P (A1) = 30/70 = 3/7; P (A2) = 20/70 = 2/7; P (A3) = 20/70 = 2/7.

2. Условные вероятности события B в том, что студент получит зачет "автоматом":

P (B | A1) = 0,8; P (B | A2) = 0,85; P (B | A3) = 0,75.

3. По формуле полной вероятности получим:

P (B) = P (A1) * P (B | A1) + P (A2) * P (B | A2) + P (A3) * P (B | A3); P (B) = 3/7 * 0,8 + 2/7 * 0,85 + 2/7 * 0,75 = (3 * 0,8 + 2 * 0,85 + 2 * 0,75) / 7 = (2,4 + 1,7 + 1,5) / 7 = 5,6/7 = 0,8.

Ответ: 0,8.