1. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии (Xn) равна 56. Известно, что все члены этой прогрессии натуральные числа и член X12 больше 67, но меньше 74. Найти X20. 2. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы всех членов, а сумма квадратов всех членов в корень (7) раз больше суммы всех членов.

По условию задачи, все члены арифметической прогрессии натуральные числа.

Поэтому разность этой прогрессии d тоже будет натуральным числом.

Обозначим первый член прогрессии через a₁, разность через d.

Четвертый член a₄ выразим через a₁ и d:

a₄ = a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d + a₁ + 3d = 4a₁ + 6d.

По условию задачи a₄ = 56, или 4a₁ + 6d = 56.

Разделим обе части равенства на 4, тогда имеем: a₁ + 1,5d = 14.

Выразим a₁₂ через d: a₁₂ = a₁ + 11d = (a₁ + 1,5d) + 9,5d = 14 + 9,5d.

По условию задачи a₁₂ больше 67, но меньше 74:

67 12 <74 → 67 <14 + 9,5d <74 → 67 - 14 <9,5d <74 - 14 → 53 <9,5d <60 → 5,6
Раз d натуральное число, то d = 6.

Отсюда: a₁ = 14 - 1,5d = 14 - 9 = 5, a₂₀ = a₁ + 19d = 5 + 19 * 6 = 119.

Сумма бесконечно убывающей прогрессии выражается формулой: S = b₁ / (1 - q).

Основываясь на этой формуле, запишем условие задачи следующей системой уравнений:

{ (b₁) ³ / (1 - q³) = 4b₁ / (1 - q),

{ (b₁) ² / (1 - q²) = √7b₁ / (1 - q).

Сокращаем оба уравнения системы на b₁ / (1 - q);

{ (b₁) ² / (1 + q + q²) = 4, → (b₁) ² = 4 (1 + q + q²) = 4 + 4q + 4q²,

{b₁ / (1 + q) = √7. Из второго уравнения выражаем b₁ через q;

b₁ = √7 * (1 + q).

Возводим обе стороны в квадрат: (b₁) ² = 7 (1 + q) ² = 7 + 14q + 7q².

Получается, что квадрат первого члена прогрессии равен и 4 + 4q + 4q² и 7 + 14q + 7q².

Поэтому имеем: 4 + 4q + 4q² = 7 + 14q + 7q² → 3q² = 7 + 10q + 3 = 0.

Находим корни квадратного уравнения: D = 25 - 9 = 16. q = - 1/3.

Ответ: 1/3.