докажите формулу 1^2+2^2+3^2 + ... + n^2 = (n (n+1) (2n+1)) / 6 которую вывел Архимед для решения некоторых задач по геометрии и механики.

Докажем, что при n = 1, равенство справедливо: 1^2 = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6; 1 = 1 * 2 * 3/6, 1 = 1, равенство справедливо.

Допустим, что при n = к, равенство справедливо: 1^2 + 2^2 + ... + к^2 = к * (к + 1) * (2 * к + 1) / 6. (1)

Докажем, что при n = к + 1 равенство тоже справедливо, то есть: 1^2 + 2^2 + ... + к^2 + (к + 1) ^2 = (1^2 + 2^2 + ... + к^2) + (к + 1) ^2;

Заменим выражение в скобках ( ...) выражением, получим:

к * (к + 1) * (2 * к + 1) / 6 + (к + 1) ^2 = (к + 1) * [к * (2 к + 1) / 6 + (к + 1) ] = (к + 1) * [к * (2 * к + 1) + 6 * (к + 1) ]/6 = (к + 1) * (2 к² + 7 к + 6) / 6 = (к + 1) (к + 2) (2 к + 3) / 6