Пусть числа x и y не делятся на 3. Доказать, что число а делится на 3, если a=x^4-y^4

Если число не делится на 3, то имеет остаток 1 или 2. Составим сравнения для каждой пары этих остатков:

{x ≡ 1 (mod 3);

{y ≡ 1 (mod 3); {x^4 ≡ 1 (mod 3);

{y^4 ≡ 1 (mod 3); x^4 - y^4 ≡ 0 (mod 3). (*) {x ≡ 1 (mod 3);

{y ≡ 2 (mod 3); {x^4 ≡ 1 (mod 3);

{y^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 3); x^4 - y^4 ≡ 0 (mod 3). (*) {x ≡ 2 (mod 3);

{y ≡ 1 (mod 3); {x^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 3);

{y^4 ≡ 1 (mod 3); x^4 - y^4 ≡ 0 (mod 3). (*) {x ≡ 2 (mod 3);

{y ≡ 2 (mod 3); {x^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 3);

{y^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 3); x^4 - y^4 ≡ 0 (mod 3). (*)

Сравнение (*) означает, что выражение x^4 - y^4 делится на 3, что и требовалось доказать.