Известно, что для натуральных чисел x, y и z выполняются два равенства: 7x^2-3y^2+4z^2=8 и 16x^2-7y^2+9z^2=-3. Найдите значение выражения x^2+y^2+z^2.

{7 х² - 3 у² + 4z² = 8,

{16 х² - 7 у² + 9z² = - 3,

{7 х² - 3 у² + 4z² = 8, умножим на 7,

{16 х² - 7 у² + 9z² = - 3, умножим на ( - 3). Получим:

{49 х² - 21 у² + 28z² = 56,

{ - 48 х² + 21 у² - 27z² = 9, сложим два уравнения, после чего получим:

х² + 0 у² + z² = 65,

х² + z² = 65, если числа натуральные, то 65 = 49 + 16, 65 = 7² + 4²,

попробуем х = 4, z = 7, тогда:

7 х² - 3 у² + 4z² = 8,

7 * 4² - 3 у² + 4 * 7² = 8,

у² = (8 - 112 - 196) : ( - 3) = 100,

у = 10,

х² + у² + z² = 4² + 10² + 7² = 16 + 100 + 49 = 165.