сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 65, а сумма третьего и четвёртово членов равна 30. Найти первый член и разность прогрессии.

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

S₅ = 65; а₃ + а₄ = 30;

Найти: a₁ - ?, d - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n - 1), где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество её членов.

С помощью этой формулы представим третий, четвертый и пятый члены заданной прогрессии:

a₃ = a₁ + d (3 - 1) = a₁ + 2d;

a₄ = a₁ + d (4 - 1) = a₁ + 3d;

a₅ = a₁ + d (5 - 1) = a₁ + 4d.

Т. о. имеем:

a₁ + 2d + a₁ + 3d = 30;

2a₁ + 5d = 30; (*)

Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = ((a₁ + a_n) / 2) * n, значит,

S₅ = ((a₁ + a₅) / 2) * 5 = 65, отсюда ((a₁ + (a₁ + 4d)) / 2) * 5 = 65, т. е.:

((2a₁ + 4d) / 2) * 5 = 65;

((2a₁ + 4d) / 2 = 13;

2a₁ + 4d = 26; (**)

Из полученных равенств (*) и (**) составим систему уравнений:

2a₁ + 5d = 30, (1)

2a₁ + 4d = 26 (2)

Из уравнения (1) системы выразим 2a₁:

2a₁ = 30 - 5d;

Полученное выражение подставим во (2) уравнение системы:

30 - 5d + 4d = 26;

-d = - 4;

d = 4.

Полученное значение разности d подставим в выражение для нахождения 2a₁:

2a₁ = 30 - 5 * 4 = 30 - 20 = 10, отсюда a₁ = 10 : 2 = 5.

Ответ: a₁ = 5, d = 4.