1) найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются:a) точками максимума и минимумаf (x) = 3x^2 - x^3 б) Промежутки возрастания и убыванияf (x) = 4x^2 - 0,5x^4

a) f (x) = 3 x² - x³.

Точки экстремума:

f ' (x) = 6 x - 3 x² = 0.

x₁ = 0;

x₂ = 2.

Найдём вторую производную:

f '' (x) = 6 - 6 x.

f '' (0) = 6 > 0; В этой точке функция выпукла вниз. Локальный минимум.

f_min (0) = 0;

f '' (2) = - 6 <0. В этой точке функция выпукла вверх. Локальный максимум.

f_max (2) = 4;

б) f (x) = 4 х² - 0,5 х⁴.

Точки экстремума:

f ' (x) = 8 x - 2 x³ = 0.

x₁ = 0;

x₂ = 2;

x₂ = - 2.

Найдём вторую производную:

f '' (x) = 8 - 6 x².

f '' (0) = 8 > 0; В этой точке функция выпукла вниз. Локальный минимум.

f_min (0) = 0

f '' (2) = - 16 < 0; В этой точке функция выпукла вверх. Локальный максимум.

f_{max 1} (2) = 8.

f '' ( - 2) = - 16 < 0; В этой точке функция выпукла вверх. Локальный максимум.

f_{max 2} ( - 2) = 8.

На интервале х € (-∞; - 2] функция возрастает от - ∞, до 8.

На интервале х € [ - 2; 0] функция убывает от 8, до 0.

На интервале х € [0; 2] функция возрастает от 0, до 8.

На интервале х € [2; ∞) функция убывает от 8, до - ∞.