Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-2y'+5y=cos (7x)

Рассмотрим дифференциальное уравнение y'' - 2 * y' + 5 * y = cos (7 * x). Анализ данного уравнения показывает, что оно является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение y'' - 2 * y' + 5 * y = 0. Характеристическое уравнение для последнего уравнения имеет вид: k² - 2 * k + 5 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4 * a * c = (-2) ² - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = - 16. Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных решений. Его комплексными решениями будут: k₁ = 1 - 2 * i и k₁ = 1 + 2 * i. Следовательно, решение однородного уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos (2 * x) + C₂ * sin (2 * x)), где C₁ и C₂ - константы. Рассмотрим правую часть данного неоднородного уравнения, которую обозначим через f (x). Она имеет вид: f (x) = cos (7 * x). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у = А * cos (7 * x) + B * sin (7 * x). Вычислим производные: уꞋ = (А * cos (7 * x) + B * sin (7 * x)) Ꞌ = - 7 * А * sin (7 * x) + 7 * В * cos (7 * x) и уꞋꞋ = (уꞋ) Ꞌ = (-7 * А * sin (7 * x) + 7 * В * cos (7 * x)) Ꞌ = - 49 * (А * cos (7 * x) + B * sin (7 * x)). Подставим найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение. Тогда, получим: y'' - 2 * y' + 5 * y = - 49 * (А * cos (7 * x) + B * sin (7 * x)) - 2 * (-7 * А * sin (7 * x) + 7 * В * cos (7 * x)) + 5 * (А * cos (7 * x) + B * sin (7 * x)) = cos (7 * x) или 14 * A * sin (7 * x) - 44 * A * cos (7 * x) - 44 * B * sin (7 * x) - 14 * B * cos (7 * x) = cos (7 * x). Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем следующую систему уравнений: (при sin (7 * x)) уравнение 14 * A - 44 * B = 0 и (при cos (7 * x)) уравнение - 44 * A - 14 * B = 1. Решая ее, находим: A = - 11/533; B = - 7/1066. Итак, частное решение имеет вид: y = (-11/533) * cos (7 * x) - (7/1066) * sin (7 * x). Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos (2 * x) + C₂ * sin (2 * x)) - (11/533) * cos (7 * x) - (7/1066) * sin (7 * x), где C₁ и C₂ - константы.