Найти точки экстремума функции y = x * ln 3x

Рассмотрим функцию y = x * ln (3 * x). Прежде всего, используя определение логарифмической функции, заметим, что областью допустимых значений аргумента х данной функции является множество всех х, для которых справедливо неравенство 3 * x > 0 или x > 0, то есть множество (0; + ∞). Допустим, что х ∈ (0; + ∞). Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Заметим, что данная функция дифференцируема везде в (0; + ∞). Необходимым условием экстремума функции одной переменной в точке x * является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Вычислим yꞋ = (x * ln (3 * x)) Ꞌ = xꞋ * ln (3 * x) + x * (ln (3 * x)) Ꞌ = ln (3 * x) + х * (3 / (3 * х)) = ln (3 * x) + 1. Приравниваем первую производную к нулю ln (3 * x) + 1 = 0 и решим полученное уравнение. Имеем: ln (3 * x) = - 1 или 3 * х = е^-1, откуда х = 1 / (3 * е). Итак, нашли одну точку, где функция может принимать экстремальное значение. Для выяснения поведения функции в найденной точке, рассмотрим поведение производной в следующих двух множествах: (-∞; 1 / (3 * е)) и (1 / (3 * е); + ∞). Очевидно, что: при х ∈ (-∞; 1 / (3 * е)) производная f Ꞌ (x) 0. Поскольку при переходе через точку х = 1 / (3 * е) производная f Ꞌ (x) меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x = 1 / (3 * е) является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 1 / (3 * е). Имеем: f (1 / (3 * е)) = (1 / (3 * е)) * ln (3 * (1 / (3 * е))) = - 1 / (3 * е). Итак, точкой экстремума (минимума) данной функции является х = 1 / (3 * е), где она принимает значение f (1 / (3 * е)) = - 1 / (3 * е).

Ответ: Точкой экстремума (минимума) данной функции является х = 1 / (3 * е).