Найдите сумму первых пяти, сорока k членов последовательности (an), заданной формулой an=3n+2

Покажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем разность между n+1-м и n-м членами данной последовательности:

а_n+1 - а_n = 3 * (n + 1) + 2 - (3 * n + 2) = 3 * n + 3 + 2 - 3 * n - 2 = 3.

Следовательно, согласно определению, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d, равной 3.

Находим первый член а1 данной последовательности:

а1 = 3 * 1 + 2 = 6.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 5 и n = 40, находим суммы первых пяти и сорока членов данной последовательности:

S5 = (2 * a1 + d * (5 - 1)) * 5 / 2 = (2 * a1 + d * 4) * 5 / 2 = 2 * (a1 + d * 2) * 5 / 2 = (a1 + d * 2) * 5 = (6 + 3 * 2) * 5 = (6 + 18) * 5 = 24 * 5 = 120.

S40 = (2 * a1 + d * (40 - 1)) * 40 / 2 = (2 * a1 + d * 39) * 20 = (2 * 6 + 3 * 39) * 20 = (12 + 78) * 20 = 90 * 20 = 1800.

Ответ: сумма первых пяти членов данной последовательности равна 120, сумма первых сорока членов данной последовательности равна 1800.