1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626-палиндром, а 2015-нет). представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов. 2. На доске была написана несократимая дробь. Петя уменьшил ее числитель на 1, а знаменатель на 2. А Вася прибавил к числителю 1, а знаменатель оставил без изменений. Оказалось что в результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог получиться? 3. В треугольнике ABC медиана, выходящая из вершины A, перпендикулярна биссектрисе угла B, а медиана, выходящая из вершины B, перпендикулярна биссектрисе угла A. Известно, что сторона AB = 1. Найдите периметр треугольника ABC 4. Есть 3 сосуда объемом 3 л, 4 л и 5 л без делений, кран с водой, раковина и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде количество воды было равно количеству сиропа?

1) Задача решается подбором. Одно число будет четырехзначное, второе - трехзначное.

Четырехзначное должно начинаться на 1, иначе получим больше, чем 2015. Так как оно начинается на 1, то и заканчивается на 1.

Чтобы при суммировании двух чисел на конце получить 5, нужно, чтобы трехзначное число заканчивалось на 4. Раз оно заканчивается на 4, то и начинается на 4.

Если трехзначное от 404 до 494, то четырехзначное примерно 1500. Подбираем и находим.

ОТВЕТ: 464 и 1551.

2) У мальчиков получились дроби:

(х - 1) / (у - 2) и (х + 1) / у.

Приравняем их и по пропорции найдем начальную дробь:

(х - 1) * у = (х + 1) * (у - 2);

ху - у = ху - 2 х + у - 2;

-2 у + 2 х + 2 = 0.

Делим все на два:

х + 1 = у.

Просто подбираем любые числа, соответствующие этому уравнению. Например, х = 6, у = 7 или х = 10, у = 11.

3) Пусть сторона ВС разделена наполовину точкой М, а сторона АС - точкой Т. Тогда Если углы АВМ и МВС равны и у них общая сторона, то АВ = ВМ. Тогда ВС = 2 АВ и равно 2. То же самое и со стороной АС - она равна 2 АВ.

Найдем периметр АВС:

1 + 2 + 2 = 5.

ОТВЕТ: Периметр треугольника АВС равен 5.

4) Порядок действий:

Сначала переливаем сироп из 3-хлитрового кувшина в 4-хлитровый.

5-тилитровый полностью наполняем водой и три литра из него льем в 3-хлитровый.

Там остается 2 литра воды, которые переливаем в 4-хлитровый, прежде перелив из него сироп обратно в 3-хлитровый. Наполняем 4-хлитровый сиропом.

Из 3-хлитрового выливаем все в 5-тилитровый, а из 4-хлитрового в 3-хлитровый.

Далее из 3-хлитрового выливаем все в 5-тилитровый и наполняем водой свободное пространство.