Решите задачу. Половину времени, затраченного на дорогу, авто ехал со скоростью 56 км/ч, а вторую половину времени-со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость авто на протяжении всего пути.

Обозначим длительность времени, затраченного на половину пути за как t.

Общая длительность путешествия 2 * t.

Пройденный путь 56 * t + 48 * t.

Для того, чтобы вычислить среднюю скорость, нужно разделить пройденный путь на общую длительность путешествия:

(56 * t + 48 * t) / (2 * t) = (28 * 2 * t + 24 * 2 * t) / (2 * t) =

= (28 + 24) * (2 * t) / (2 * t) = 52.

Ответ: средняя скорость 52 км/ч.

Этот тип задач решается путем вычисления одной и той же величины двумя способами:

используются данные из условия задачи; повторяется расчет через искомую величину; приравнивая полученные формулы, определяем искомое значение. Определяем пройденный путь, зная скорости движения за первую половину времени: S1=V1*t/2 (км); за вторую половину времени: S2=V2*t/2 (км); общий путь за все время движения: S=S1+S2=V1*t/2+V2*t/2 = (V1+v2) * t/2 (км). Тот же путь, пройденный за время t со средней скоростью Vср

S=Vср*t. Отсюда находим: Vср=S/t.

Вычисление средней скорости движения

S = (V1+V2) * t/2;

То есть: Vср*t = (V1+V2) * t/2;

Делим обе части на время t и вуа ля:

Vср = (V1+V2) / 2 = (56+48) / 2=104/2=52 (км/час).

Таким образом, мы подтвердили формулу нахождения средней скорости движения для равных временных интервалов:

Vср = (V1+V2 + ... + Vn) / n

Теперь изменим условие задачи, определим среднюю скорость движения, если первая половина пути пройдена со скоростью 56 км/час, а вторая-48 км/час.

Вычисляем время в пути: t=t1+t2 = (S/2) / V1 + (S/2) / V2 = (S/2) * (1/V1+1/V2) =

= (S/2) * (V1+V2) / (V1*V2) = S/Vср, откуда: Vср = (2V1*V2) / (V1+V2) =

= (2*56*48) / (56+48) = 51,7 (км/час).

Как видим, средние скорости не равны друг другу, так как, в первом случае величина пройденного пути прямо пропорциональна скорости движения (больше скорость, больше путь), а во втором-время в пути обратно пропорционально скорости (больше скорость, меньше время).

Кстати, эта задача была у меня на первой в моей жизни (пятый класс, 1964 год) Московской математической олимпиаде. К моему стыду, решил неверно, попутал вот эти способы, но все равно победил.