Вычислить производную в заданной точке F (x) = 1-20x/1+20x F' (0) = ?

Найдём производную функции: F (x) = (1 - 20x) / (1 + 20x).

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (1 - 20x) ' = (1) ' - (20x) ' = 0 - 20 * x^ (1 - 1) = - 20 * x^0 = - 20 * 1 = - 20;

2) (1 + 20x) ' = (1) ' + (20x) ' = 0 + 20 * x^ (1 - 1) = 20 * x^0 = 20 * 1 = 20.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

F (x) ' = ((1 - 20x) / (1 + 20x)) ' = ((1 - 20x) ' * (1 + 20x) - (1 - 20x) * (1 + 20x) ') / (1 + 20x) ^2 = ( - 20 * (1 + 20x) - (1 - 20x) * 20) / (1 + 20x) ^2 = ( - 20 - 400x - 20 + 400x) / (1 + 20x) ^2 = - 40 / (1 + 20x) ^2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

F (0) ' = - 40 / (1 + 20 * 0) ^2 = - 40 / (1 + 0) ^2 = - 40 / 1 = - 40.

Ответ: F (x) ' = - 40 / (1 + 20x) ^2, а F (0) ' = - 40.