Найти площадь равнобедренной трапеции, зная, что диагонали взаимноперпендикулярны и их длины равны 16 см.

Перпендикулярность диагоналей образует в равнобедренной трапеции два подобных прямоугольных равнобедренных треугольника, в которых гипотенузами являются основания трапеции.

Пусть диагонали точкой пересечения делятся на отрезки m и (16 - m).

Из теорем Пифагора получим выражение для суммы оснований трапеции:

a + b = (2 * x^2) ^ (1/2) + (2 * (16 - x) ^2) ^ (1/2) = x * 2^ (1/2) + (16 - x) * 2^ (1/2) = 16 * 2^ (1/2);

Высота в такой трапеции равна полусумме оснований:

h = 8 * 2^ (1/2);

Площадь равна:

S = 1/2 * 16 * 8 * 2 = 128 см².