Решить интеграл arcsin (x/2) dx

Решим по частям:

∫udv = uv - ∫vdu;

u = arcsin (x/2); du = dx / √ (1 - (x/2) ^2) = dx / √ (1 - x^2 / 4);

dv = dx; v = x.

Тогда

∫arcsin (x/2) dx = x * arcsin (x/2) - ∫x dx / √ (1 - x^2 / 4).

Решим отдельно получившийся интеграл. Введем x под знак дифференциала:

∫x dx / √ (1 - x^2 / 4) = - 2 * ∫ (1 - x^2 / 4) ^ (-1/2) d (1 - x^2 / 4) = - 2 * (1 - x^2 / 4) ^ (1/2) / (1/2) - C = - 4 * √ (1 - x^2 / 4) - C.

Тогда

∫arcsin (x/2) dx = x * arcsin (x/2) + 4 * √ (1 - x^2 / 4) + C.