Найдите число членов арифметической прогрессии, разность которой 12, последний член - 15 и сумма всех членов - 456.

Обозначим данную арифметическую прогрессию через an

Рассмотрим эту же прогрессию, взятую в обратном порядке.

Обозначим обратную арифметическую прогрессию через сn

Тогда последний член прогрессии an, равный - 15, будет будет первым членом прогрессии сn, а разность прогрессии cn будет равна разности прогрессии an с обратным знаком, то есть - 12.

Поскольку сумма всех членов прогрессий an и сn совпадает и равна - 456, запишем формулу суммы первых n членов для арифметической прогрессии сn:

(2 * (-15) + (-12) * (n - 1)) * n / 2 = - 456.

Решаем полученное уравнение:

(-30 - 12n + 12) * n / 2 = - 456;

(-18 - 12n) * n / 2 = - 456;

(9 + 6n) * n = 456;

9n + 6n^2 = 465;

6n^2 + 9n - 456 = 0;

n = (-9 ± √ (81 + 6 * 4 * 456)) / 12 = (-9 ± √ (81 + 10944)) / 12 = (-9 ± √11025) / 12 = (-9 ± 105) / 12;

n1 = (-9 - 105) / 12 = - 114/12 = - 9.5;

n2 = (-9 + 105) / 12 = 96/12 = 8.

Поскольку число членов последовательности может быть только целым и положительным, значение n = - 9.5 не подходит.

Следовательно, число членов данной арифметической прогрессии равно 8.

Ответ: число членов данной арифметической прогрессии равно 8.