В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. Определите длину стороны ВС, если известно, что АК=5, СК=3, а периметр треугольника АВС равен 20.

В математике есть теорема о биссектрисе, в соответствии с которой, она делит противолежащую сторону в отношении двух прилежащих к ней сторон треугольника.

Основание треугольника, сторона AC = 5 + 3 = 8

Допустим, что сторона BC = x, следовательно, раз Pтреугольника = 20, сторона AB = 20 - 8 - x = 12 - x

Составляем уравнение, в котором используем отношение, согласно теореме о биссектрисе: x / (12 - x) = 3 / 5

5x = 36 - 3x

8x = 36

x = 4,5

Cледовательно: сторона BC = 4,5, а сторона АС = 12 - 4,5 = 7,5

Проверяем по Периметру: P = 7,5 + 4,5 + 8 = 20

Термины и определения

Биссектриса - отрезок, исходящий из вершины треугольника и делящий её пополам. Например, биссектриса прямого угла (90 гр.) делит его на 2 равных угла по 45 гр. каждый.

Периметр - сумма всех сторон фигуры. Соответственно, периметр треугольника составляет сумму всех трех сторон.

Решение задачи

Дано:

треугольник abc биссектриса bk ak = 5; ck = 3; P = 20;

Найти:

bc = ?

Зная длину отрезков, на которые делится биссектрисой сторона ас, найдем ас:

ac = ak + ck = 5 + 3 = 8 см;

Итак, одна сторона треугольника равна 8 см.

Следовательно, сумма сторон ab и bc равна:

20 - 8 = 12 см;

Составим пропорцию

Одним из свойств биссектрисы является то, что отрезки, на которые делится противоположная сторона, прямо пропорциональны двум другим сторонам треугольника. Т. е.:

ak / ab = ck / bc;

5 / ab = 3 / bc;

Так как ab + bc = 12, тогда ab = 12 - bc;

Запишем пропорцию, заменив ab:

5 / (12 - bc) = 3 / bc;

Решение уравнения

Итак, мы получили уравнение с одной неизвестной bc.

Решим его:

5 / (12 - bc) = 3 / bc;

Избавимся от знаменателей:

5 * bc = 3 * (12 - bc);

Раскроем скобки:

5 * bc = 36 - 3 * bc;

Неизвестные вынесем в левую часть уравнения:

5 * bc + 3 * bc = 36;

Упростим:

8 * bc = 36;

Найдем неизвестную:

bc = 36 / 8 = 4.

Итак, сторона bc равна 4 см.

Ответ: 4 см.