2lg^2x-5lgx-7=0log0,5 (x) + 3 logx (0,5) = 4

Решим квадратное уравнение:

2lg² х - 5lg х - 7 = 0;

Найдем ОДЗ:

х > 0;

Выполним замену:

lg х = у;

2y² - 5y - 7 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 5) ² - 4 * 2 * ( - 7) = 25 + 56 = 81;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √81) / 2 * 2 = (5 - 9) / 4 = - 4 / 4 = - 1;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √81) / 2 * 2 = (5 + 9) / 4 = 14 / 4 = 7/2;

Подставим значения:

Если у1 = - 1, то:

lg х = - 1;

lg х = - 1 * lg 10;

х = 10 ^{( - 1)} ;

x1 = 0,1;

Если у2 = 7/2, то:

lg х = 7/2lg 10;

lg х = lg 10 ^7/2;

х = 10 ^7/2;

x2 = √10 ⁷;

Ответ: x1 = 0,1, x2 = √10 ⁷.

Применим формулу перехода к новому основанию:

log _0,5 х + 3log _х 0,5 = 4;

log _х 0,5 = 1 / log _0,5 х;

log _0,5 х + 3 / log _0,5 х - 4 = 0;

Выполним замену:

log _0,5 х = у;

у + 3/у - 4 = 0;

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

(у² - 4y + 3) / у = 0;

у ≠ 0;

y² - 4y + 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √4) / 2 * 1 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √4) / 2 * 1 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3;

Подставим значения:

Если у1 = 1, то:

log _0,5 х = 1;

log _0,5 х = log _0,5 0,5;

x1 = 0,5;

Если у2 = 3, то:

log _0,5 х = 3;

log _0,5 х = 3log _0,5 0,5;

log _0,5 х = log _0,5 0,5³;

х = 0,5³;

x2 = 0,125;

Ответ: х1 = 0.5, х2 = 0,125.